stíny

[chb]

tentokráte jednoduché jen pro zamyšlení = nepište řešení do vlákna ale jen do SZ - pozítří uvedu kdo to vyřešil
(sem pište jen případné dotazy)

bodový zdroj světla nekonečně daleko = to je pro šťouraly = stín přesně zobrazuje průdorys předmětu

1) koule - kolik stínů potřebuji abych součtem ploch stínů pokryl povrch koule ?
2) je možné u krychle mít stejný počet stínů na pokrytí celého povrchu krychle ?
3) umíte spočítat podmínku pro tu krychli ?

[bobik]

Jako tedy podělit plochy povrchů těles plochou promítnutou na podložku za tělesem?

[chb]

jo, tak nějak

[Selic]

Jako tedy podělit plochy povrchů těles plochou promítnutou na podložku za tělesem?

Umíš v CADu natočit krychli s délkou strany=1 tak, aby plocha promítnutého stínu měla plochu=1,5?

[rawen]

...za to ty nějak tak nedokážeš pochopit zadání a kazíš radost ostatním

Radek

[rawen]

Vyřešil jste to někdo analyticky? Tj. vzorec pro úhel (úhly) natočení krychle?
Já to mám jen nakreslené a finální trojúhelník numericky - něco podobného jako ty žebříky ve studni.

Radek

[chb]

tak se dosud ozval jen Bobík
1) povrch koule pokryjí přesně 4 stíny - vyplývá to ze vzorečku 4*pí*r*r - což je jasné, ale pomineme-li vzoreček, tak by to málokdo odhadl

2) ano, i krychle jde natočit tak, aby povrch pokryly 4 stíny

3) ani já nemám ještě správný úhel dopočítaný ... jsou jiné starosti - ale ono to časem dojde
kdo to ještě zkusí ?

pardon - Rawen také poslal body 1 a 2

[rawen]

No já jsem taky psal SZ...

Radek

[bobik]

Tak v CADu mi to vyšlo takto, když budeme promítat jenom dvě strany. Ale jak to vypočítat nevím, předpokládám, že to bude pěkně primitivní úloha. Lze taky zahrnout natočení krychle na tři strany. Tam už by to byl horší oříšek a měli bychom nejspíš nekonečně mnoho řešení.

[prochaska]

Natáčet se musí v obou osách, protože takhle vyjde maximum když bude krychle po úhlopříčce, čili plocha stínu √2 = 1.414, což by nestačilo.

[bobik]

Pravdu díž. Neumím počítat ani 6/4 mi vyšlo 1,25.
Ale pak to nemá jedno řešení. Maximální promítnutá plocha je 1,73*a*a. Nejspíš v rámci zpotvořeného kužele si mohu naklápět pohled na všechny tři strany, aby splňoval podmínku 1,5*a*a.
Pro jednoznačné řešení bychom měli zavést podmínku, aby průměty dvou stěn byli stejné.

[jenicek]

U koule to je jasný, prostě poměr plochy kruhu vs. koule, protože ať kouli natočím jak chci, stín bude vždy kruh.
U krychle to je daný největším rozměrem v krychli a to je vnitřní uhlopříčka, což je odmocnina 3.

[rawen]

Tak především bych použil větu o stínu jednotkové krychle. Ta říká, že plocha stínu se číselně rovná největší délce obrysu krychle ve směru paprsků.
Takže
a) krychle leží na podložce stranou, světlo je "nahoře". Plocha stínu i délka toho obrysu (výška tělesa od podložky) je 1.
b) krychle leží na podložce hranou a je natočená o 45st ve směru kolmém na tuto hranu. Pak je stínem obdélník 1*sqrt(2) a i délka toho obrysu je stranová úhlopříčka sqrt(2).
c) krychle stojí na špici tak, aby výškou od podložky byla tělesová úhlopříčka sqrt(3) - což je maximum. Potom i plocha stínu je sqrt(3) = asi 1.73

Evidentně c) je moc - je potřeba krychli naklopit míň.
Vyjdu z její polohy b) a začnu zdvíhat jeden ze spodních vrcholů. Situaci popisuje obrázek - 1 "dolní" strana, sqrt(2) stranová úhlopříčka (původně kolmá k podložce), sqrt(3) tělesová úhlopříčka. 3/2 je kýžená výška krychle od podložky.
Alfa je hledaný úhel naklopení...

Radek

[rawen]

Anebo odpovím, že tělesová úhlopříčka má být nakloněná 30st od svislice (směru paprsků) a čau

Radek

[bobik]

Tak sklon je 5,27° při podmínce, že dvě stěny mají promítnutou stejnou plochu. Tedy že zdroj nám leží v červené rovině.