CNC Fórum

zadání
x + xy + y = 54

kolik je
x + y = ?

podmínka - x a y jsou celočíselná kladná

-----------------
opět ... kdo ví, ať nechá přemýšlet chvilku i ostatní

vim a jsem si sakra jistej

Trochu to připomíná Töplerův algoritmus pro výpočet odmocniny s tím rozdílem, že tady není čtverec, ale obdélník.

no tak výsledek není těžký - ale kdo přijde na vhodný postup mimo "hrubé" síly (= zkoušení)

chb píše: ↑5. 1. 2023, 6:04 no tak výsledek není těžký - ale kdo přijde na vhodný postup mimo "hrubé" síly (= zkoušení)

Výsledek pro x a y: 10 a 4 (nebo opačně), takže 10+4=14

Úvaha:

Jde o jednu rovnici se dvěma proměnnými, obecně tedy nekonečně mnoho řešení v oboru reálných čísel. Tu druhou potřebnou "rovnici" tomu dává podmínka celých kladných čísel.

Vyšla mi úprava.

x+xy+y=54 =>
x+y*(x+1)=54 =>
y*(x+1)=54-x =>
y=(54-x)/(x+1) =>
y=(54-x-1+1)/(x+1) =>
y=(55-(x+1))/(x+1) =>
y=55/(x+1) - (x+1)/(x+1) =>
y=55/(x+1) - 1 =>
Protože x a y mají být celá čísla, pak 55 musí být dělitelné (x+1) beze zbytku, takže hledám dělitele 55 - ky. Z toho mi vychází pro (x+1) = 5 nebo 11. Z toho vychází x,y = 10,4 nebo x,y=4,10

Takže x+y=14.

To bylo mé řešení. Asi existuje i mnohem chytřejší.

Protože na to zřejmě ostatní kašlou, mohl bys, prosím, zveřejnit správné řešení?

jasně, kladné celočíselné je přeneseně "ta druhá rovnice"

další podobný postup nalezení řešení

x + xy + y = 54
x (1 + y) + y = 54 /x před závorku
x (1 + y) + y +1 = 54 + 1 / pomohu si +1
x (y + 1) + 1(y + 1) = 55 / trochu to učešu
(x + 1)(y + 1) = 55 / (y + 1) před závorku

55 = 5 * 11 nebo 1 * 55, víc možností není a má platit x > 0 pak (x + 1) >= 2
(x + 1) = 5 (y + 1) = 11 nebo obráceně
x + y = 14

Na toto netreba zrovna hrubú silu. Keďže je podmienka, že to musia byť kladné celočíselné čísla, tak je zrejmé, že to musia byť čísla do 10, lebo inak nesplníme XY<54. Takže som to dal na tri pokusy, lebo 6 a 7 nevychádza, tak bolo treba ísť vyššie. A kedže 8 a 9 nedávajú rozumné násobky, tak som šupol rovno 10 a vyšlo to

chb píše: ↑7. 1. 2023, 4:08

Je to moc hezká úloha. Zkusil jsem to domyslet dále a ta základní podmínka se dá zapsat obecně takto:

(x+1)*(y+1) = (N+1) ; v daném případě bylo N=54

Aby toto mělo jednoznačné řešení, pak x+1 i y+1 musejí být prvočísla. Takže to původní zadání platí pro všechna N+1, která jsou součinem dvou prvočísel.